Com resoldre equacions logarítmiques

Content

• etapes
• Preliminar: saber transformar una equació logarítmica en una equació amb potències
• Mètode 1 Trobar x
• Mètode 2 Trobar x mitjançant la regla del producte del logaritme
• Mètode 3 Trobar x utilitzant t la regla del quocient del logaritme

Les equacions logarítmiques no són, a primera vista, les més fàcils de resoldre en matemàtiques, però es poden transformar en equacions amb exponents (notació exponencial). Així, si aconsegueu fer aquesta transformació i si domineu el càlcul amb les potències, haureu de resoldre fàcilment aquest tipus d'equacions. NB: el terme "log" s'utilitzarà de tant en tant en lloc de "logaritme", són intercanviables.

etapes

Preliminar: saber transformar una equació logarítmica en una equació amb potències

1. 
   

   
   Comencem per la definició del logaritme. Si voleu calcular logaritmes, sabeu que no són més que una manera especial d’expressar poders. Comencem per una de les condicions clàssiques del logaritme:
   • y = registre_b (X)
     • si i només si: b = x
   • b és la base del logaritme. S’han de complir dues condicions:
     • b> 0 (b ha de ser estrictament positiu)
     • b no ha de ser igual a 1
   • En notació exponencial (segona equació anterior), hi ha és el poder i x és l'anomenada expressió exponencial, de fet, el valor de la qual es busca el registre.

2. 
   

   
   
   
   Observa l'equació de prop. Davant d’una equació logarítmica, hem d’identificar la base (b), la potència (y) i l’expressió exponencial (x).
   • exemple : 5 = registre₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Situeu l’expressió exponencial a un costat de l’equació. Indiqueu, per exemple, el vostre valor x a l'esquerra del signe "=".
   • exemple : 1024 = ?

4. 
   

   
   Eleva la base a la potència indicada. El valor assignat a la base de dades (b) s'ha de multiplicar per si mateix tantes vegades com indiqui la potència (hi ha).
   • exemple : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • En resum, això dóna: 4

5. 
   

   
   
   
   Escriu la teva resposta. Ara podeu reescriure el logaritme en notació exponencial. Assegureu-vos que la vostra igualtat és correcta.
   • exemple : 4 = 1024

Mètode 1 Trobar x

1. 
   

   
   Aïllar el logaritme. L’objectiu és efectivament derrocar en un primer moment el registre. Per això, passem tots els membres no logarítmics a l’altra banda de l’equació. No oblideu revertir els signes operatius.
   • exemple : registre₃(x + 5) + 6 = 10
     • registre₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • registre₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Escriu l’equació de forma exponencial. Per poder trobar "x", haureu de passar de la notació logarítmica a la notació exponencial, aquesta última és més fàcil de resoldre.
   • exemple : registre₃(x + 5) = 4
     • A partir de l’equació teòrica y = registre_b (X)], apliqueu-lo al nostre exemple: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Escriu l’equació com: b = x
     • Obtenim aquí: 3 = x + 5

3. 
   

   
   trobar x. Ara us trobareu amb una equació del primer grau, que és fàcil de resoldre. Podria ser de segon o tercer grau.
   • exemple : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Introduïu la vostra resposta definitiva. El valor que heu trobat per a "x" és la resposta a la vostra equació logarítmica: log₃(x + 5) = 4.
   • exemple : x = 76

Mètode 2 Trobar x mitjançant la regla del producte del logaritme

1. 
   

   
   Heu de conèixer la regla relativa al producte (multiplicació) dels registres. Segons la primera propietat dels registres, la que fa referència al producte dels registres (de la mateixa base enviada!), El registre d’un producte és igual a la suma dels registres dels elements del producte. Il·lustració:
   • registre_b(m x n) = registre_b(m) + registre_b(N)
   • S’han de complir dues condicions:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Aïlla els registres d’un costat de l’equació. L’objectiu és efectivament derrocar al principi els registres. Per això, passem tots els membres no logarítmics a l’altra banda de l’equació. No oblideu revertir els signes operatius.
   • exemple : registre₄(x + 6) = 2: registre₄(X)
     • registre₄(x + 6) + registre₄(x) = 2: registre₄(x) + registre₄(X)
     • registre₄(x + 6) + registre₄(x) = 2

3. 
   

   
   Apliqueu la regla relativa al producte dels registres. Aquí l’aplicarem en el sentit contrari, és a dir, que la suma dels registres és igual al registre del producte. Què ens dóna:
   • exemple : registre₄(x + 6) + registre₄(x) = 2
     • registre₄ = 2
     • registre₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Reescriviu l’equació amb potències. Recordem que una equació logarítmica es pot transformar en una equació amb exponents. Com abans, passarem a una notació exponencial per ajudar a resoldre el problema.
   • exemple : registre₄(x + 6x) = 2
     • A partir de l’equació teòrica, apliquem-la al nostre exemple: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Escriu l’equació com: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   trobar x. Ara us trobareu amb una equació de segon grau, que és fàcil de resoldre.
   • exemple : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Escriu la teva resposta. Sovint, tenim dues respostes (arrels). S'hauria de comprovar en l'equació inicial si aquests dos valors són adequats. De fet, no podem calcular el registre d’un nombre negatiu. Introduïu l’única resposta vàlida.
   • exemple : x = 2
   • Mai no ho recordarem prou: el registre d’un número negatiu no existeix, de manera que podeu, aquí, desestimar - 8 com a solució. Si prenguéssim -8 com a resposta, en l’equació bàsica, tindríem: log₄(-8 + 6) = 2: registre₄(-8), és a dir, registre₄(-2) = 2 - registre₄(-8). No es pot calcular el registre d’un valor negatiu.

Mètode 3 Trobar x utilitzant t la regla del quocient del logaritme

1. 
   

   
   Heu de conèixer la regla relativa a la divisió dels registres. Segons la segona propietat dels registres, la que concerneix la divisió dels registres (de la mateixa base enviada!), El registre d'un quocient és igual a la diferència del registre del numerador i el registre del denominador. Il·lustració:
   • registre_b(m / n) = registre_b(m) - registre_b(N)
   • S’han de complir dues condicions:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Aïlla els registres d’un costat de l’equació. L’objectiu és efectivament derrocar al principi els registres. Per això, passem tots els membres no logarítmics a l’altra banda de l’equació. No oblideu revertir els signes operatius.
   • exemple : registre₃(x + 6) = 2 + registre₃(x - 2)
     • registre₃(x + 6): registre₃(x - 2) = 2 + registre₃(x - 2): registre₃(x - 2)
     • registre₃(x + 6): registre₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Apliqueu la regla del quocient de registre. Aquí l’aplicarem en el sentit contrari, és a dir, que la diferència dels registres és igual al registre del quocient. Què ens dóna:
   • exemple : registre₃(x + 6): registre₃(x - 2) = 2
     • registre₃ = 2

4. 
   

   
   Reescriviu l’equació amb potències. Recordem que una equació logarítmica es pot transformar en una equació amb exponents. Com abans, passarem a una notació exponencial per ajudar a resoldre el problema.
   • exemple : registre₃ = 2
     • A partir de l’equació teòrica, apliquem-la al nostre exemple: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Escriu l’equació com: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   trobar x. Ara que ja no hi ha més registres, sinó potències, hauríeu de trobar fàcilment x.
   • exemple : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; multiplicem les dues cares per (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Introduïu la vostra resposta definitiva. Trieu enrere els vostres càlculs i feu un control. Quan esteu segurs de la vostra resposta, anoteu-la definitivament.
   • exemple : x = 3